Algoritmos de desglose en optimización

Francisco Javier Aragón Artacho
(Universidad de Alicante) 

Cuando un problema de optimización posee cierta estructura, ya sea en la función objetivo o en las restricciones, suele resultar beneficioso aprovecharla. En esta charla nos centraremos en los algoritmos de desglose, llamados así porque utilizan por separado ciertas partes del problema para resolver iterativamente problemas más sencillos, de tal manera que sus soluciones convergen a una solución del problema original. Un ejemplo son los métodos de proyección utilizados en la resolución de problemas de factibilidad: con el objetivo de encontrar un punto en la intersección de una familia de conjuntos, normalmente convexos, se define una sucesión de puntos basada en las proyecciones individuales sobre cada uno de los conjuntos que converge a un punto en la intersección. Probablemente, el método de proyección más conocido sea el de las proyecciones alternadas de Von Neumann.

El operador proyección se puede obtener como un caso particular del "resolvente" de un operador, que se define como la inversa de la suma de la aplicación identidad y del operador. Además de recordar algunos de los principales algoritmos de desglose, presentaremos una nueva metodología, basada en la noción de "fortalecimiento" de un operador, que permite obtener nuevos algoritmos para calcular el resolvente de la suma de operadores. Mostraremos algunas aplicaciones de los nuevos algoritmos obtenidos, como por ejemplo para la reducción de ruido de imágenes.

Esta charla está principalmente basada en trabajos conjuntos con Rubén Campoy (Universidad de Valencia) y Matthew K. Tam (Universidad de Melbourne).